뽑기 확률에 대한 흔한 오해 5가지 (1% 확률을 100번 뽑으면?)
독립 시행, 누적 확률, 기대값과 중앙값의 차이 등 상자 개봉 결과를 해석할 때 자주 생기는 오해를 수학적으로 풀어봅니다.
상자를 열다 보면 "이번엔 나올 때가 됐다", "확률 1%인데 100번 뽑았으니 하나는 나와야지" 같은 생각이 들기 마련입니다. 직관적으로는 그럴듯하지만 수학적으로는 틀린 경우가 많습니다. 확률을 제대로 이해하면 과소비를 막을 수 있고, 시뮬레이터 결과도 정확히 읽을 수 있습니다.
오해 1. "1% 확률을 100번 뽑으면 반드시 한 번은 나온다"
각 개봉이 서로 독립이라면, 100번 모두 실패할 확률은 0.99100 ≈ 36.6%입니다. 즉 100번을 열어도 세 명 중 한 명 이상은 한 번도 못 뽑습니다. 적어도 한 번 나올 확률은 약 63.4%에 불과합니다.
| 개봉 횟수 | 1% 보상을 1번 이상 얻을 확률 |
|---|---|
| 10회 | 9.6% |
| 50회 | 39.5% |
| 100회 | 63.4% |
| 200회 | 86.6% |
| 300회 | 95.1% |
| 459회 | 99.0% |
99% 확률로 한 번 이상 얻으려면 약 459번을 열어야 합니다. 확률 1%가 '100번에 한 번'이라는 말은 평균이 그렇다는 뜻일 뿐, 보장이 아닙니다.
오해 2. "계속 안 나왔으니 다음엔 나올 확률이 높다"
이른바 도박사의 오류입니다. 별도의 천장(보장) 장치가 없는 독립 추첨이라면, 앞에서 50번 실패했든 한 번도 안 열었든 다음 한 번의 확률은 똑같이 1%입니다. 상자는 이전 결과를 기억하지 않습니다. 반대로 일정 횟수 이후 보상이 보장되는 구조라면 그 규칙은 공식 안내에 명시되므로, 상품 설명을 먼저 확인하는 것이 중요합니다.
오해 3. "기대값만큼 받는 게 보통이다"
기대값은 수없이 많이 열었을 때의 평균입니다. 비싼 보상이 낮은 확률로 섞여 있는 상품은, 소수의 대박이 평균을 끌어올리기 때문에 대다수의 결과는 기대값보다 낮습니다. 이럴 때는 평균보다 '중앙값', 즉 절반의 사람이 받는 결과를 보는 것이 체감에 가깝습니다. FCBoard 시뮬레이터가 결과의 백분위를 함께 보여주는 것도 이 때문입니다.
오해 4. "여러 번 나눠 사면 확률이 좋아진다"
시간대나 구매 방식에 따라 확률이 달라진다는 이야기는 근거가 없습니다. 고시된 확률이 같다면 한 번에 10개를 열든 하루에 하나씩 열든 결과의 분포는 같습니다. 체감 차이는 대부분 기억의 편향에서 옵니다. 좋은 결과가 나온 방식은 오래 기억되고, 나쁜 결과는 쉽게 잊히기 때문입니다.
오해 5. "확률표에 있으니 가치도 확률대로 나뉜다"
확률표의 각 칸이 같은 확률이라도 그 안에 든 선수의 시세는 크게 다를 수 있습니다. 같은 등급 안에서도 인기 선수와 비인기 선수의 가격 차이가 수십 배에 이르기도 합니다. 그래서 상품 가치를 판단할 때는 확률과 함께 각 보상의 시세를 곱해 봐야 합니다. 계산 방법은 패키지 기대값 계산 글을 참고하세요.
정리
- 낮은 확률의 보상은 많이 열어도 못 얻을 수 있다. 누적 확률을 계산해 보자.
- 독립 추첨에서 이전 결과는 다음 결과에 영향을 주지 않는다.
- 평균(기대값)보다 중앙값이 내 체감에 가깝다.
- 예산을 먼저 정하고, 그 예산으로 얻을 수 있는 결과의 범위를 확인한 뒤 구매하자.